로그 방정식: 로그를 지수식으로 바꾸기

문제: 실수 범위에서 log₂(x − 1) = 3을 만족하는 모든 x를 구하세요.

1. 전제 — 주어진 조건

로그의 밑 2는 양수이고 1이 아닙니다. 진수 x − 1은 양수여야 하므로 정의역은 D = {x ∈ ℝ | x > 1}입니다. x는 D에서 해를 찾을 변수입니다. 문제의 등식이 모든 x에서 참이라는 뜻은 아닙니다.

2. 도입 — 정의

실수 로그는 지수함수의 역함수입니다. 정의에 따라 다음 동치가 성립합니다.

∀a ∈ (0, ∞) ∖ {1}, ∀u ∈ (0, ∞), ∀y ∈ ℝ
(log_au = y ⇔ a^y = u)

즉, 허용된 모든 밑 a, 양수 u, 실수 y에 대해 “a를 몇 제곱하면 u가 되는가”의 답이 y라는 뜻입니다. 양화사는 괄호 안의 동치 전체에 적용됩니다.

3. 조작 — 변형

1. 정의역 x > 1에서 로그의 정의를 적용합니다.

   log₂(x − 1) = 3 ⇔ 2³ = x − 1

2. 2³ = 8을 계산하고 양변에 1을 더합니다.

   8 = x − 1 ⇔ 9 = x ⇔ x = 9

보조 식에는 2³ = 8을 따로 적을 수 있습니다. 보조 계산의 결과와 본래 방정식의 해는 구분하며, 본식으로 돌아와 정의역을 확인합니다.

4. 논증 — 결론

구한 값 9는 정의역 조건 x > 1을 만족합니다. 원래 식에 대입하면 log₂(9 − 1) = log₂8 = 3으로 검산됩니다.

앞선 변형은 정의역 안에서 모두 역으로도 성립하므로 다른 해는 없습니다.

∀x ∈ D (log₂(x − 1) = 3 ⇔ x = 9)
해집합 S = {9}

위 전칭 명제는 D에 속한 x에 대해, 원래 등식이 참인 것은 x = 9일 때뿐이라는 뜻입니다. 특히 ∃x ∈ D (log₂(x − 1) = 3)도 참이며, 그 해는 유일합니다.

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지원 범위

이 페이지는 실수 로그의 정의를 이용한 한 문제의 고정 풀이입니다. 복소 로그나 일반 로그 방정식 전체를 다루지 않습니다. 작업실의 답 검사는 이 문제의 최종 해를 비교하며, 사용자가 입력한 자유 서술이나 모든 중간 논증을 자동 증명하지 않습니다. 풀이 예제는 정적으로 제공되며, 연습 계산과 저장은 브라우저에서 처리합니다.